УЧИТЬ РЕШАТЬ ЗАДАЧИ
Есть одно трудное, но важное умение, которому нужно учить школьников при обучении математике — это умение решать задачи.
Ведь с задачами (житейскими, производственными, научными) человек встречается ежедневно. Любое дело, любая работа, в конечном счете, сводится к решению задач. Поэтому научить решать задачи чрезвычайно важно. Конечно, в математике решаются не любые задачи, а лишь математические и сводимые к ним. Но умение решать математические задачи оказывает огромное влияние на общее умение решать задачи, и тот, кто умеет решать эти задачи, сумеет решить и другие.
Почему некоторые из учащихся не умеют самостоятельно решать задачи? Почему они не знают, как подступиться к решению новой незнакомой задачи?
Главная причина состоит в том, что эти ученики не понимают сущности задач, сущности их решения, не владеют общими методами поиска их решений.
Решение задач — это сложная работа. Материалом, над которым производится эта работа,— сами задачи, методы их решения — это инструменты для работы, а само решение — это процесс работы, процесс применения инструментов к материалу. Поэтому, чтобы облегчить решение задачи, надо, конечно, знать материал этой работы, т. е. сами задачи — пояснить учащимся как они устроены, из чего состоят, показать, что важно знать и владеть инструментами — методами решения задач, и научиться разумно применять эти инструменты.
С учащимися полезно начать работу с краткого пояснения основных особенностей задач, решаемых в математике. В математике решаются собственно математические задачи, объектами которых являются какие-либо математические объекты, понятия и практические задачи, сводимые к математическим задачам, объектами которых являются реальные предметы или явления.
Примерами математических задач являются задачи на решение уравнений, неравенств, разные геометрические задачи и т. д. Примерами практических задач являются задачи, в которых речь идет о движении поездов, о работе, о размерах реальных предметов и т. д.
Для сведения практических задач к математическим реальные объекты, рассматриваемые в этих задачах, заменяются соответствующими математическими объектами (числами, отрезками, функциями и т. д.), и тем самым получается модель практической задачи — математическая задача.
Предложить учащимся:
Задача 1. Велосипедист едет из одного города в другой со скоростью 10 км/ч. Если бы он ехал со скоростью 12 км/ч, то приехал бы в город на 4 ч раньше. Каково расстояние между городами?
Для решения этой задачи рассматриваемые в ней реальные объекты — расстояние между городами и скорости велосипедиста — заменяем соответственно математическими объектами — искомое х и числа 10 и 12. Тогда легко составить уравнение:
Это уравнение и есть модель данной задачи — соответствующая математическая задача.
Как устроены задачи? Из каких частей они состоят?
Всякая задача содержит одно или несколько условий — высказываний, принимаемых нами за истинные, и одно или несколько требований.
Задача 2. В круге проведены две взаимно перпендикулярные хорды, одна длиной 16 см, другая 14 см. Расстояния этих хорд до центра равны 1 см и 4 см. Определить отрезки, на которые делятся хорды точкой их пересечения.
Построим указанные в задаче объекты: окружность центра О и две взаимно перпендикулярные хорды. Из центра О опустим на хорды перпендикуляры, чтобы найти их расстояние от центра. Тогда в этой задаче можно выделить следующие условия и требования:
Условия:
1) О — центр окружности;
2) АВ — хорда; 3) CD — хорда; 4) AB CD 5) АВ= 16; 6) CD = 14; 7) М — точка пересечения АВ и CD; 8) ОК АВ; 9) OK=1 10) OL OD; 11) OL = 4.
Требования: 1) найти AM; 2) найти ВМ\ 3) найти СМ; 4) найти DM.
Как видим, эта простая задача содержит 11 условий и 4 требования. А как построены условия? Анализируя их, устанавливаем, что каждое условие содержит один или несколько объектов, о которых идет речь в условиях. Так, в условии 1 имеется один объект — точка О, точно так же в условиях 2 и 3 по одному объекту — отрезки АВ и CD, а вот уже в условии 4 два объекта: отрезки АВ и CD, а в условии 7 даже три объекта: отрезки АВ и CD и точка М. По одному объекту содержат условия 5, 6, 9 и 11 и по два объекта условия 8 и 10.
Если в условии имеется один объект, то указывается его качественная или количественная характеристика. Так, в условии 1 объект — точка О характеризуется как центр окружности, в условиях 2 и 3 — объекты — отрезки АВ и CD характеризуются как хорды. Это все качественные характеристики. В условии 5 дается количественная характеристика объекта — отрезка АВ, а именно указано, что его длина равна 16. Точно так же в условиях 6, 9 и 11 указаны количественные характеристики рассматриваемых там объектов.
Если же в условии заданы два или более объекта, то указывается соотношение между ними. Так, в условии 4 два объекта — отрезки АВ и CD и в нем указано соотношение между ними: они взаимно перпендикулярны. В условии 7 соотношения между тремя ее объектами состоят в том, что один из них — точка М есть точка пересечения двух других объектов — отрезков АВ и CD и т. д.
Что касается требований, то в математических задачах наиболее часто встречаются такие виды требований: 1) найти искомое (величину, форму, отношение); 2) преобразовать заданный объект в другой вид; 3) построить некоторый объект с заданными характеристиками; 4) доказать справедливость некоторого утверждения.
В приведенной задаче 2 все четыре требования первого вида. Теперь рассмотрим, в чем состоит решение задачи.
Решение:
1. В четырехугольнике OKML углы L, К и М— прямые по построению, тогда и угол О также прямой, ибо сумма углов четырехугольника равна 360°.
Следовательно, по определению прямоугольника этот четырехугольник OKML — прямоугольник.
В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому MK = OL, a OL по условию 11 равен 4, значит, и МК = 4 и т. д.
Как видим, решение задачи состоит из одного или нескольких шагов. Каждый шаг решения состоит в том, что мы применяем какое-то общее положение математики (определение, теорему, формулу, правило и др.) к условиям задачи или к полученным ранее результатам решения и выводим из этого следствие. Следствием последнего шага решения задачи должно быть то, что требуется в задаче.
Задача 3. Разложить на множители многочлен х4 + 4 (1).
В этой задаче имеется одно условие: х4 + 4 многочлен, и одно требование: преобразовать этот многочлен и представить его в виде произведения двух или нескольких многочленов.
Решение этой задачи состоит из следующих шагов.
Прибавим к данному многочлену (1) выражение 4х2 - 4х2, равное нулю, от этого значение (1) не изменится, получим:
(2)
Сгруппируем члены (2) следующим образом:
(3)
Это мы имели право сделать на основе переместительного и сочетательного законов сложения.
3. Применим к выражению, стоящему в скобках в правой части (3), формулу квадрата суммы, получим:
(х4 + 4х2 + 4) - 42 = (х2 + 2)2 - 4х2. (4)
4. Представим 4x2 как (2x)2, тогда имеем:
(х2 + 2)2 - 4х2 = (х2 + 2)2 - (2х)2. (5)
5. Применим к правой части (5) формулу разности квадратов:
(х2 + 2)2 - (2х)2 = (х2 + 2 + 2х) (х2 + 2 — 2х). (6)
Сопоставим все полученные равенства на основе аксиомы: если а — b и b = с, то а = с, получим окончательно:
(7)
Это решение можно изобразить следующей схемой:
№ шагов |
Общие положения математики |
Условия |
Следствия |
1. |
а+0=а |
а=х4+4 0=4х2-4х2 |
Равенство (2) |
2. |
Переместительный и сочетательный законы сложения |
х4+4+4х2-4х2 |
Равенство (3) |
3. |
Формула: a2+2ab+b2=(a+b)2 |
x4+4x2+4 |
Равенство (4) |
4. |
Определение степени одночлена |
4х2 |
Равенство (5) |
5. |
Формула: а2-b2=(a+b)(a-b) |
(x2+2)2-(2x)2 |
Равенство (6) |
6. |
Аксиома: если a=b,и b=c, то а=с |
Равенства (2), (3), (4), (5) и (6) |
Равенство (7) |
Т.о. следует обратить внимание учащихся на то, что при решении любой задачи находят такую последовательность общих положений математики, применяя которые к условиям задачи или к их следствиям, в конечном итоге удовлетворяющую требованиям задачи.
Наибольшая трудность в решении задачи — это нахождение указанной последовательности общих положений математики. Если эта последовательность уже найдена, то все остальные в решении — применение этих общих положений к условиям задачи или к следствиям, не представляет большого труда.
Для многих задач в самой математике разработаны эти последовательности общих положений, которые образуют известные общие правила (или, как говорят, алгоритмы) решения задач определенного вида.
Так, например, для производства всех действий над числом имеются готовые правила. Имеются особые правила и для решения многих алгебраических и геометрических задач. Однако большей частью эти правила сформулированы в математике в свернутом виде. Для того чтобы применить их для решения соответствующих задач, вы должны эти свернутые правила развернуть в пошаговую программу.
Например, формула (а+b)2 = а2+2ab+b2 есть правило для возведения двучлена в квадрат. Для применения этого правила к решению какой-либо задачи надо это правило развернуть в пошаговую программу. Покажем, как это делается на примере решения задачи:
Задача 4. Представить в виде многочлена выражение (2х — 3у)2.
1-й шаг. |
Найти в заданном двучлене первый и второй члены |
а=2х, b=-3 |
2-й шаг. |
Возвысить первый член в квадрат |
a2=4x2 |
3-й шаг. |
Найти удвоенное произведение членов двучлена |
2ab=2(2x)(-3y)=-12xy |
4-й шаг. |
Возвысить в квадрат второй член |
b2=(-3y)2=9y2 |
5-й шаг. |
Сложить результаты 2, 3 и 4-го шагов |
4x2-12xy+9y2 |
Математические задачи, для которых в математике имеются готовые правила — программы их решения, называются, стандартными. Решение стандартных задач особых трудностей не представляет. Надо лишь распознать вид данной задачи, вспомнить соответствующее этому виду задач правило решения, развернуть это правило в пошаговую программу и применить ее к условиям данной задачи.
Значительно труднее решать нестандартные задачи, для которых в математике нет готовых правил. Решение нестандартных задач состоит в том, чтобы свести их к решению одной или нескольких стандартных задач. Например, задача 3 является нестандартной, но мы свели ее к решению нескольких стандартных задач.
Задача 5. Построить трапецию, если даны большее основание, средняя линия и углы при меньшем основании.
Решение. В этой задаче дано (см.рисунок слева)
Требование задачи: Построить трапецию по заданным элементам: известны величины большего основания, меньшего основания и углов при меньшем основании.
Эта задача нестандартная, ибо в математике нет правила построения трапеции по указанным элементам.
Ищем способ решения:
Пусть ABCD — искомая трапеция.
Сразу построить всю трапецию или какую-либо ее часть, как видно, нельзя. Причина состоит в том, что заданные элементы разобщены. Так, заданные углы находятся не при известных большем основании или средней линии, а при неизвестном меньшем основании. Однако, зная углы при меньшем основании, легко найти и углы при большем основании: они дополняют соответствующие углы при меньшем основании до 180°. Найдя их, мы тем самым установим направления боковых сторон трапеции в известных вершинах А и В большего основания. Теперь осталось найти положение средней линии. Для этого заметим, что NK\\AM отсекает от АВ отрезок AK = MN. Следовательно, можно отложить на АВ отрезок АК, равный MN, и через точку К провести прямую, параллельную AD, до пересечения с ВС в точке N. Тем самым определится середина боковой стороны ВС. Отложив от N отрезок NC, равный BN, мы найдем вершину С, а проведя через нее прямую, параллельную АВ, найдем и последнюю вершину D.
Таким образом, мы свели решение этой нестандартной задачи к решению следующих стандартных задач:
1. На произвольной прямой отложить отрезок АВ — a.
- Построить угол, смежный с данным углом α; то же для угла β.
3. Построить угол, равный смежному с α, так, чтобы его вершиной была точка А, а
одной стороной — отрезок АВ, получаем угол ВАЕ; то же для угла, смежного с β,
при вершине В и стороной ВА, получаем угол ABF.
- Отложить от А на прямой АВ отрезок АК = m.
- Провести через точку К прямую КL\\АЕ.
6. Найти точку пересечения прямой KL и BF, получаем очку N.
- Отложить от точки N на прямой BF отрезок NC = BN.
- Провести через точку С прямую CP \\ А В.
9. Найти точку пересечения прямых CP и AE получаем точку D.
Фигура ABCD — искомая трапеция.
Все шаги этого решения представляют собой стандартные задачи.
Конечно, надо еще доказать, что построенная фигура действительно есть искомая трапеция, установить условия, при которых задача имеет решения, но это сделать уже нетрудно.